Relativity　特殊相対性理論

@ 特殊相対性理論とは

電車に乗って、隣を走る別の電車を見たことがあるかな。不思議な感じがしたことだろう。隣の電車がゆっくり走っているように見えたり、止まって見えたりする。すれ違う電車は、すごいスピードで走っているように見える。電車の速さは、地上で止まっている人が見るのと、別の電車に乗っている人が見るのとは、違って見える。

光を、ロケットから見ると、どう見えるだろう。光の速さが遅くなったり、速くなったりするのだろうか。観測してみた。不思議なことに、光の速さは、どのように動いている人から見ても、同じ速さであった。

なぜだろう？なぜそうなっているかを、科学は説明できない。自然がそうなっているから、そうなのだ。科学は、その自然を、このように解釈すると、うまく説明できるよと言うのに過ぎない。

光はどのように動いている人から見ても速さは同じである。このことから、空間や時間を解釈し直したものが、特殊相対性理論である。ある人が同時に起こったと思ったことが、他の人には同時ではないとか、走っている人の時間はゆっくり進むとかが起きることになる。ただし、これらの効果は、光の速さ（秒速30万km）に近づかないと、表れない。一般の日常生活では、感じることがない。

特殊相対性理論で、仮定にしている事

光の速さは、観測者の移動の速さにかかわらず、一定である。
特別な座標系は存在しない。(運動は相対的である。)

以上の仮定より、次の結論が導かれる。

光の速さは最大である。これ以上速いモノはない。
速くなると、質量が増し、動きにくくなり、光より速く加速させることはできない。
エネルギーが増せば、質量が増加する。

仮定1に対して、ものすごく小さい距離や時間、または、ものすごく大きなエネルギに対しては、光の速さが大きくなるとするのが、VSL理論だ。量子論と相対論を融合しようとする説である。

@ 特殊相対性理論で、大事な事

自分自身には特殊相対性理論の効果は表れないことに注意しよう。自分自身が、止まっていようが、光に近いスピードで動いていようが、特殊相対性理論の効果は、表れない。普通の物理の法則に従うまでだ。時間が遅くなったり、物の長さが縮んだりしたりはしない。ごくあたりまえの事しか起きない。
光の速さにある程度近づいた速さで動いているものを観測すると、常識とは違う変なことが起きる。
自分自身とは違う速さで動いている物を考えるときに、特殊相対性理論の効果が表れるのだ。

@ 光

光はこの宇宙の中で、特別な存在なのだろうか。まさしくそうなのだ。宇宙の力は、根本的に4つしかない。重力、電気や磁石の力、原子の核に関する力2つ、以上の4つだ。光は、そのうちの電気や磁石の力を伝える、宇宙の根元的なものの１つなのだ。光の速さは、宇宙で最速であって、これ以上速いものはない。

光の速さ（秒速30万km） をこれから c で表す。また、光が1秒間に進む距離（30万km）も c で表す。

@ 同時性の破れ

常識で考えれば、ある人にとって違う場所で同時に起きた事は、他の人にとっても同時である。しかし、光の速さが、どのように動いている人から見ても同じであることを考えに入れると、ある人にとって違う場所で同時に起きたことが、別の動いている人が見ると、同時には見えないことが起きる。

ただし、同じ場所で同時に起きた出来事は、別の動いている人が見ても、同時である。今考えているのは、別の場所で、同時に起きた事を問題にしている。

次のような例を考える。もちろん、光の速さが関係しているので、光が関係する例を考える。

秒速 v で右に向かって走る、長さ 2c （60万km）の新幹線を考える。新幹線の真ん中から、前と後ろに向かって同時に光を飛ばす。運転手さんに届く時刻 t₁ と、車掌さんに届く時刻 t₂ を考える。

<新幹線に乗っている人から見ると>

運転手さんまで、距離は c 、速さは c だから1秒かかる。 t₁=1　車掌さんまでも同じ。1秒かかる。  t₂=1　前向きの光と、後ろ向きの光は運転手さんと車掌さんに同時に届く。t₁=t₂=1  （あたりまえ）

<地上からから見る-常識で考えると->

運転手さんは前に速さ v で進んでいるので、光が進まなければならない距離は c+vt₁ 、光は前向きに v で進んでいる物体から速さ c で発射されるので、光は c+v で進む。運転手さんに届く時刻 t₁ は、

t₁=(c+vt₁)/(c+v)

t₁(c+v)=c+vt₁  =>  ct₁+vt₁=c+vt₁  =>  ct₁=c  =>  t₁=c/c=1　1秒後に届く。

車掌さんは前に速さ v で進んでいるので、光が進む距離は c-vt₂ ですんでしまう。光は前向きに v で進んでいる物体から速さ c で後ろ向きに発射されるので、光は c-v で進む。運転手さんに届く時刻 t₂ は、

t₂=(c-vt₂)/(c-v)

t₂(c-v)=c-vt₁  =>  ct₂-vt₂=c-vt₂  =>  ct₂=c  =>  t₂=c/c=1　1秒後に届く。

前向きの光と、後ろ向きの光は運転手さんと車掌さんに同時に届く。t₁=t₂=1  （あたりまえ）

<地上からから見る-光の速度は変わらないことを考慮すると->

運転手さんは前に速さ v で進んでいるので、光が進まなければならない距離は c+vt₁ 、光は前向きに v で進んでいる物体から速さ c で発射されるけれでも、光の速さは c で変わらない。運転手さんに届く時刻 t₁ は、

t₁=(c+vt₁)/c

ct₁=c+vt₁  =>  ct₁-vt₁=c  =>  t₁(c-v)=c  =>  t₁=c/(c-v)=1/(1-v/c)

分母の (1-v/c) は 1より小さいので、t₁は1秒より時間がかかる。
光の速さは c で変わらないのに、運転手さんは前にどんどん逃げていくので、時間がかかるのはあたりまえ。

車掌さんは前に速さ v で進んでいるので、光が進む距離は c-vt₂ ですんでしまう。
光は前向きに v で進んでいる物体から速さ c で後ろ向きに発射されるけれでも、光の速さは c で変わらない。
運転手さんに届く時刻 t₂ は、

t₂=(c-vt₂)/c

ct₂=c-vt₂  =>  ct₂+vt₂=c  =>  t₂(c+v)=c  =>  t₂=c/(c+v)=1/(1+v/c)

分母の (1+v/c) は 1より大きいので、t₂は1秒より小さくなる。光の速さは c で変わらないのに、車掌さんは前にどんどん前に寄ってくるので、時間があまりかからない。

まとめると、 t₂<1<t₁ となって、t₁=t₂ でない。光は、車掌さんに早く届き、運転手さんには遅くずれて届く。

<常識と、光の速度は変わらないことを考慮したものとを比べると>

新幹線内の人にとって同時に起きたことが、光の速度が変わらないことを考えると、地上の人にとっては、時間がずれて、同時には観測されないことがわかる。
ただし、この場合、離れた場所での2つのできごとを考えている。新幹線の同じ場所で同時に起きたことは、地上で見ても同時である。また、新幹線の速さ v は普通、光の速さ c に比べて非常に小さいので、その効果は感じることはない。

@ 時間の遅れ

新幹線内の時計と、地上の時計は、同じように動くのあろうか。次のような時計を考える。もちろん光を利用する。

秒速 v で右に向かって走る新幹線を考える。新幹線の天井と床に鏡をおき、その距離を c とする。（天井と床の距離が30万km）。2つの鏡の間に光を飛ばし往復させる。片道にかかる時間 t を考える。

<新幹線に乗っている人から見ると>

距離 c を、速さ c の光が進むので、かかる時間 t は　t=c/c=1　すなわち、光は1秒ごとに鏡にぶつかる。

<地上からから見る-常識で考えると->

新幹線は前に速さ v で進んでいるので、光は斜め前に進まなければならない。
その距離は、三平方の定理を使って、 root(c²+(vt)²)

光は、前向きに v で進んでいる物体から速さ c で上下方向に発射される。
その光の速さは、三平方の定理を使って、 root(c²+v²)

片道にかかる時間 t は、t=root(c²+(vt)²)/root(c²+v²)

両辺を2乗して、t²=(c²+(vt)²)/(c²+v²)
t²(c²+v²)=c²+(vt)²  =>  c²t²+v²t²=c²+v²t²  =>  c²t²=c²  =>  t²=c²/c²  =>  t=1

すなわち、光は1秒ごとに鏡にぶつかる。(あたりまえ)

<地上からから見る-光の速度は変わらないことを考慮すると->

新幹線は前に速さ v で進んでいるので、光は斜め前に進まなければならない。
その距離は、三平方の定理を使って、 root(c²+(vt)²)

光は、前向きに v で進んでいる物体から速さ c で上下方向に発射される。その光の速さは、向きに関係なく、cであることを考えれば、片道にかかる時間 t は、t=root(c²+(vt)²)/c

ct=root(c²+(vt)²)  両辺を2乗すると　c²t²=c²+(vt⁾²  =>  (c²-v²)t²=c²  =>  t²=c²/(c²-v²)   =>  t²=1/(1-(v/c)²)

 =>  t=1/root((1-(v/c)²))

分母の root((1-(v/c)²) は１より小さいので、 t は１より大きくなる。すなわち、光は1秒より時間がかかって、鏡にぶつかることになる。

<常識と、光の速度は変わらないことを考慮したものとを比べると>

新幹線内で1秒ごとに鏡にぶつかるできごとが、地上の時計で観測すると、1秒より時間がかかっていることになる。
新幹線の速さが増せば、新幹線内で3時間過ごしたできごとが、地上の時計では4時間かかったように観測されるとか、新幹線内で3年間過ごしたできごとが、地上の時計では4年間かかったように観測されることが起きる。すなわち、新幹線内ではゆっくり時間が進んでいるように見える。
ただし、新幹線の速さ v は普通、光の速さ c に比べて非常に小さいので、その効果は普通感じることはない。root((1-(v/c)²) は特殊相対性理論では、よく出てくる重要な量である。

特殊相対性理論の効果

v/c と  1/root((1-(v/c)²) の関係

@ ゆっくり時間が進むとはどういうことか

地上から新幹線の中を見ると、時間がゆっくり進んでいるように見える。新幹線の速さ v が大きくなれば、その効果はよりはっきりしてくる。時計の針はゆっくり回転し、人々はゆっくり歩き、ゆっくりしゃべる。物を落とせば、物はゆっくり床に落ちる。ただし、新幹線内の人々は、時間そのものがゆっくり進んでいるのだから、自分たちがゆっくり動いている自覚はない。いつもと同じように生活しているだけだ。

@ どっちが歳をとるのか

新幹線から、地上の時計を見るとどう見えるだろうか。地上が左向きに速さ v で進んでいるように見えるので、地上の時計がゆっくり進んでいくように見える。本当はいったいどちらがゆっくり進んでいるのだろうか。

@ 違う場所に置く時計をあわせる方法

長さ 2c 、右に速さ v で走る新幹線を考える。真ん中にいる人、運転手さん、車掌さんの3人の時計を合わせる方法を考える。
もちろん、光を使うわけで、真ん中の人に、ちょうど0秒に、前後両方に光を発してもらう。運転手さんも車掌さんも、1秒後に光が届くはずなので、光が届いたら、時計を1秒とする。
これで、3人の時計は合わせることができるわけで、新幹線の中にいる人にとっては、3人とも同じ時刻を指している。
地上でも、同じようにして異なる場所にいる人の時計を合わせることができる。そして、それは、地上にいる人にとっては、すべて同じ時刻を指す。

@ 地上から見ると、新幹線の中の3人の時計は、はたして同じ時刻を指すのか

新幹線内の、真ん中・運転手さん・車掌さんの3人の時計は、みな同じ時刻を指している。だが、地上から見ても、3人の時計は合っているのだろうか。
地上から見ると、運転手さんは前にどんどん逃げていくのだから、運転手さんには1秒より遅くつくように観測される。車掌さんはどんどん前に近づいて来るのだから、、車掌さんには1秒より早くつく。運転手さんは、1秒が過ぎてから、時計を1秒に合わせている。車掌さんは、1秒より早く時計を1秒に合わせてしまう。地上から見ると、運転手さんの時計は遅れていて、車掌さんの時計は進んでいることになる。
新幹線の中の3人にとって、3人の時計が同じ時刻を指すのだが、それを地上から見ると、運転手さんの時計は遅れ、車掌さんの時計は進んで見える。
時間の遅れや長さが縮むことを考えるとき、たとえば0秒ですれちがったあと、どんどんお互いに離れて行くわけだから、同じ時計をまた、比べるわけにはいかない。1秒後には、1秒後に同じ場所にある、0秒の時とは違った時計を比べることになる。違う場所にある時計は進んだり遅れたりしているように観測されるわけだから、常識的な時間の感覚や、物の長さの感覚は成り立たない。そこに、常識が成り立たない理由がある。

長さ 2c 、右に速さ v で走る新幹線を考える。真ん中にいる人、運転手さん、車掌さんの3人の時計を考える。
新幹線の中で、3人の時計は合わせたとしよう。真ん中の時計は正しいとして、地上から観測すると、運転手さんの時計は、 (v/c) / root((1-(v/c)²) の遅れ、車掌さんは  (v/c) / root((1-(v/c)²) の進みを示す。

@ 再び、時間の遅れ

速さ v で進む新幹線の中での2つのできごとが、ΔT の時間間隔で起きた。それを地上で観測した時の、時間間隔を Δt とすると、

Δt : ΔT = 1 : root((1-(v/c)²)) になる。すなわち、Δt > ΔT

しかし、新幹線の中の1つの時計と、地上の1つの時計を比べた訳ではないことに注意しよう。速さ v で、すれ違うのだから、2つの時計が出会うのはただ1回だけだ。新幹線の中の時刻あわせをした2つの時計と、地上の1つの時計を比べているのに過ぎない。新幹線内の時刻あわせをした2つの時計は、地上から観測すると、ずれているので、時間の遅れが観測されることになる。

@ 長さが縮む

止まっている物の長さを測るのは簡単だ。ものさしか、巻き尺をあてて測ればよい。動いている物の長さを測るのも簡単そうだけど、よーく考えると難しい。次の2つの方法が考えられる。

先頭と最後尾がある時刻にどこにいるかを調べる。ある時刻は、もちろん、同時でなくてはならない。
その物体の速さがわかっている場合は、ある場所を先頭と最後尾が通過する時間を調べ、計算して長さを出す。

どちらの方法でも、どうしても時間が関係してくる。常識的に考えると、物の長さは時間とは関係なく、ある決まった値である。しかし、運動する物体の速さが大きくなると、特殊相対性理論の効果が現れてきて、時間が関係してくる。そこで、物の長さが変化するという変な事が起きてくる。

秒速 v で右に向かって走る、長さ 2c （60万km）の新幹線を考える。新幹線の真ん中から、前と後ろに向かって同時に光を飛ばす。

<新幹線に乗っている人から見ると>

運転手さんには1秒後に光が届く。そのとき、光を発した場所から運転手さんまでの距離は、　c+v

車掌さんも1秒後に光が届く。そのとき、光を発した場所から車掌さんまでの距離は、　c-v

したがって、運転手さんから車掌さんまでの距離は　(c+v)+(c-v)=2c

もともとの新幹線の長さは 2c だから、変化はない。あたりまえ。

<地上からから見る-光の速度は変わらないことを考慮すると->

運転手さんと車掌さんに光が届くのは、同時ではない。
運転手さんに届く時刻 t₁ と、車掌さんに届く時刻 t₂ は、　 t₁=1/(1-v/c)>1   t₂=1/(1+v/c)<1

運転手さんまでの距離は c+vt₁ 、車掌さんまでの距離は c-vt₂ であるが、それは同時に測った距離ではないので、正しい長さとは言えない。時間のずれを修正する必要がある。
運転手さんまでは、1秒を過ぎてから測定しているので、ちょうど1秒の時は、もう少し、左にもどす必要がある。車掌さんまでは、1秒たっていないのに測定しているので、ちょうど1秒の時は、もう少し、右に進んでいるはずだ。
両方を考えあわせれば、ちょうど1秒の時は、長さは 2c より短くなっている。動いている物体は、縮んで見える。それは、時間が絶対的なものでないことから起きる。

@ 物体の長さが縮む-その1-

右に速さ v で走り、長さ L0 の新幹線の前と後ろに鏡を置き、光を往復させ、時計を作る。光が1往復する時間 t0 は

t0 = 2 * L0 / c

同じ事を地上で観測して、光が1往復するのにかかる時間を t 、前に鏡に届く時間を t1 、後ろの鏡に届く時間を t2 、観測された長さ Lとすれば、

前の鏡はどんどん前に逃げていくから、 L + v * t1 = c * t1
したがって、 t1 = L / (c - v)
後ろの鏡は前にどんどん進むから、L-v * t2 = c * t2
したがって、 t2 = L / (c + v)

t = t1 + t2 = L / (c - v) + L / (c + v) = 2 * L / (c ^ 2-v ^ 2)

t0 と t の関係は、t > t0　であって、 t : t0 = 1 : root((1-(v/c)²))

L / L0 = (t * (c ^ 2-v ^ 2) / 2) / (t0 * c / 2) = t / t0 * (1-(v/c) ^ 2) = 1/root((1-(v/c)²)) *((1-(v/c)²)) =root((1-(v/c)²))

すなわち、 L < L0 、物体の長さは短く観測される。

@ 物体の長さが縮む-その2-

長さ Lo の新幹線が、右に速さ v で進む時、次の2つの事が起きた時間を考える。

A:先頭が通り過ぎた　B:最後尾が通り過ぎた

地上で、AとBが起きるのにかかる時間を Δt とすると　Lo=vΔt

新幹線の中にいる人が、AとBが起きるのにかかる時間を ΔT 、新幹線の長さをL、とすると、

LはLoとは違う長さになるわけで、　L=vΔT

上の2つの式の v は同じ量である。

Δt と ΔT は、地上にいる人が考えると、次の関係がある。

Δt=ΔT/root(1-(v/c)^2) > ΔT　　　　　　　^2 は 2乗 という意味

以上、3つの関係式から

L/Lo = (vΔT)/(vΔt) = ΔT/Δt = root(1-(v/c)^2) < 1

止まっているときの長さが Lo の物体は、速さ v で進むと、その長さ L は、短く観測される。

それは、長さを測るときに、時間が関係してくるからである。常識的に考えると、物の長さは時間とは関係なく、ある決まった値である。しかし、運動する物体の速さが大きくなると、特殊相対性理論の効果が現れてきて、時間が関係してくる。そこで、物の長さが変化するという変な事が起きてくる。

動いている物体が、キュッと、短くなると考えると、いろいろ誤解が生じる。止まっている物体の長さを測るときには、いっさい時計が関係しない。しかし、動いている物体の長さを測るには、どうしても、時間が関係してくる。同時に物体の両端の位置を測定するか、ある地点を通過する時間を計らなければならない。止まっている観測者にとっての同時が、動いている者にとっては同時ではないので、そこに、物体が縮んで見えるというカラクリがある。

@ 距離が縮む

地球から距離 So にある星まで、速さ v のロケットで行こうとしよう。

かかる時間 Δt は、　Δt = So/v

ロケットに乗っている人を考えると、その距離 S と、それにかかる時間 ΔT は、　ΔT = S/v

Δt と ΔT は、地上にいる人が考えると、次の関係がある。

Δt=ΔT/root(1-(v/c)^2) > ΔT　　　　　　　^2 は 2乗 という意味

したがって、　S/So = (vΔT)/(vΔt) =  ΔT/Δt = root(1-(v/c)^2) < 1

@ ミューオンを考える

ミューオンという粒子は、宇宙空間の地上10km(10000m)から速さ 0.99c で、地球に降り注ぎ、おおよそ 2.2*10^-6 (2.2*10^(-6)) 秒で崩壊する。

単純に計算すれば、 0.99*3*10^8*2.2*10^-6 = 653 (m)　653m進んだ所で崩壊するので、ほとんどのミューオンは地上には落ちて来ない。だが、実際、ミューオンは地上で観測される。なぜか。

<地上で考えると>

ミューオンは速さ 0.99c で進むので、その時計は7倍になる。すなわち崩壊するのにかかる時間は7倍になり、その間に進む距離も7倍になる。すなわち、　653*7 = 4571 (m)　これで、地上に届く可能性が出てくる。

<ミューオンで考えると>

ミューオンにとって、自分の寿命は、　2.2*10^(-6)) 秒　である。ただし、ミューオンにとって、地球や地球の大気が速さ　0.99c　で自分に自分に迫ってくるので、長さが 1/7 に、縮んでいることになる。自分は653m進んで崩壊するが、地上の10000mは、ミューオンにとって、1400mに相当するので、地上に届く可能性が出て来る。

<結果>

どちらで考えても、相対性の効果が出てきて、地上でミューオンが観測される事実と矛盾しない。

Relativity　特殊相対性理論-その2-